Номер 24.3, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.3. Найдите производную функции:

a) $f(x) = ax^2 + c$;

б) $f(x) = \frac{k}{x}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = ax^2 + c$ воспользуемся правилами дифференцирования.
Производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (ax^2 + c)' = (ax^2)' + (c)'$
Производная константы $c$ равна нулю, то есть $(c)' = 0$.
Постоянный множитель $a$ выносится за знак производной: $(ax^2)' = a \cdot (x^2)'$.
Для нахождения производной от $x^2$ применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$: $(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$
Объединив все шаги, получаем: $f'(x) = a \cdot (2x) + 0 = 2ax$
Ответ: $2ax$

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{k}{x}$ представим ее в виде степенной функции, где $k$ является константой. $f(x) = k \cdot x^{-1}$
Теперь применим правила дифференцирования.
Выносим постоянный множитель $k$ за знак производной: $f'(x) = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (x^{-1})'$
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В данном случае $n = -1$: $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2}$
Подставляем найденное значение обратно в выражение для производной: $f'(x) = k \cdot (-x^{-2}) = -kx^{-2}$
Запишем результат в виде дроби: $f'(x) = -\frac{k}{x^2}$
Ответ: $-\frac{k}{x^2}$