Номер 16.3, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.3. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

$ \cos^2 6x - \cos 12x = 0 $

Дано уравнение: $cos^2 6x - cos 12x = 0$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$.

В нашем случае аргумент $12x$ вдвое больше аргумента $6x$. Поэтому мы можем применить формулу, взяв $\alpha = 6x$:

$cos(12x) = cos(2 \cdot 6x) = 2cos^2 6x - 1$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$cos^2 6x - (2cos^2 6x - 1) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cos^2 6x - 2cos^2 6x + 1 = 0$

$-cos^2 6x + 1 = 0$

Отсюда получаем:

$cos^2 6x = 1$

Это уравнение эквивалентно двум случаям: $cos 6x = 1$ или $cos 6x = -1$.

Объединенное решение для этих двух случаев можно записать в виде одного общего решения. Косинус равен 1 или -1 в точках, кратных $\pi$.

Следовательно, общее решение для аргумента $6x$ имеет вид:

$6x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Выразим $x$ из этого уравнения:

$x = \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

По условию задачи нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Это значит, что корень $x$ должен быть меньше нуля ($x < 0$), но при этом быть как можно ближе к нулю.

Рассмотрим неравенство $x < 0$:

$\frac{\pi k}{6} < 0$

Поскольку $\pi$ и $6$ — положительные числа, это неравенство выполняется только при $k < 0$.

Нам нужно найти наибольшее значение $x$, что соответствует наибольшему целому отрицательному значению $k$. Наибольшее целое отрицательное число — это $k = -1$.

Подставим $k = -1$ в формулу для корней:

$x = \frac{\pi(-1)}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения равен $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.